Методы (правила) раскрытия неравенств с модулями заключаются в последовательном раскрытии модулей, при этом используют интервалы знакопостоянства подмодульных функций. В конечном варианте получают несколько неравенств из которых и находят интервалы или промежутки, которые удовлетворяют условию задачи.
Перейдем к решению распространенных на практике примеров.
Линейные неравенства с модулями
Под линейными понимаем уравнения, в которых переменная входит в уравнение линейно.
Пример 1. Найти решение неравенства
Решение:
Из условия задачи следует, что модули превращаются в ноль при x=-1
и x=-2.
Эти точки разбивают числовую ось на интервалы
В каждом из этих интервалов решим заданное неравенство. Для этого прежде всего составляем графические рисунки областей знакопостоянства подмодульных функций. Их изображают в виде областей с знаками каждой из функций
или интервалов со знаками всех функций.
На первом интервале раскрываем модули
Умножаем обе части на минус единицу, при этом знак в неравенстве поменяется на противоположный. Если Вам до этого правила трудно привыкнуть, то можете перенести каждую из частей за знак, чтобы избавиться минуса. В конечном варианте Вы получите
Пересечением множества x>-3 с областью на которой решали уравнения будет интервал (-3;-2) . Для тех кому легче искать решения графически можете рисовать пересечение этих областей
Общие пересечение областей и будет решением. При строгом неровности края не включают. При нестрогое проверяют подстановкой.
На втором интервале получим 
Сечением будет интервал (-2;-5/3). Графически решение будет иметь вид
На третьем интервале получим
Данное условие не дает решений на искомой областе.
Поскольку два найдены решения (-3;-2)
и (-2;-5/3)
граничат точкой x=-2
, то проверяем и ее.
Таким образом точка x=-2
является решением. Общее решение с учетом этого будет выглядеть (-3;5/3).
Пример 2.
Найти решение неравенства
|x-2|-|x-3|>=|x-4|
Решение:
Нулями подмодульных функций будут точки x=2, x=3, x=4
.
При значениях аргументов меньше этих точек подмодульные функции отрицательные, а при больших – положительные.
Точки разбивают действительную ось на четыре интервала. Раскрываем модули согласно интервалов знакопостоянства и решаем неравенства.
1) На первом интервале все подмодульные функции отрицательные, поэтому при раскрытии модулей меняем знак на противоположный.
Пересечением найденных значений x
с рассматриваемым интервалом будет множество точек
2) На промежутке между точками x=2 и x=3 первая подмодульная функция положительная, вторая и третья – отрицательные. Раскрывая модули, получим
неравенство, которое в пересечении с интервалом, на котором решаем, дает одно решение – x=3.
3) На промежутке между точками x=3 и x=4 первая и вторая подмодульные функции положительные, а третья – отрицательная. На основе этого получим
Это условие показывает, что целый промежуток будет удовлетворять неравенство с модулями.
4) При значениях x>4 все функции знакоположительные. При раскрытии модулей их знак не меняем.
Найденное условие в пересечении с интервалом дает следующее множество решений
Поскольку неравенство решено на всех интервалах, то остается найти общее всех найденных значений x.
Решением будут два интервала
На этом пример решен.
Пример 3.
Найти решение неравенства
||x-1|-5|>3-2x
Решение:
Имеем неравенство с модулем от модуля. Такие неравенства раскрывают по мере вложенности модулей, начиная с тех, которые размещены глубже.
Подмодульная функция x-1 преобразуется в нуль в точке x=1 . При меньших значениях за 1 она отрицательная и положительная для x>1 . На основе этого раскрываем внутренний модуль и рассматриваем неравенство на каждом из интервалов.
Сначала рассмотрим интервал от минус бесконечности до единицы 
Подмодульная функция равна нулю в точке x=-4
. При меньших значениях она знакоположительная, при больших – отрицательная. Раскроем модуль для x<-4:
В пересечении с областью, на которой рассматриваем получим множество решений
Следующим шагом раскрываем модуль на интервале (-4;1)
С учетом области раскрытия модуля получим интервал решений
ЗАПОМНИТЕ: если Вы получили в подобных неровностях с модулями два интервала, граничащих общей точкой, то, как правило, она также является решением.
Для этого стоит лишь провести проверку.
В данном случае подставляем точку x=-4.
Итак x=-4
является решением.
Раскроем внутренний модуль для x>1
Подмодульная функция отрицательная для x<6.
Раскрывая модуль получим
Данное условие в сечении с интервалом (1;6) дает пустое множество решений.
Для x>6
получим неравенство
Также решая получили пустое множество.
Учитывая все выше изложенное, единственным решением неравенства с модулями будет следующий интервал.
В математике, как и в жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла: например, мы не можем проехать на машине километров (мы проедем километров, неважно, в каком направлении), как и не можем купить килограммов апельсинов. Эти значения всегда должны быть положительными. Именно поэтому в математике существует специальный термин - модуль.
Что же такое модуль числа?
Представь, что это ты.
Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления.
Итак, ты делаешь шага вперёд и оказываешься в точке с координатой.
Это означает, что ты удалился от места, где стоял на шага
(единичных отрезка). То есть, расстояние
от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно.
Но ведь ты же можешь двигаться и назад!
Если от отправной точки с координатой сделать шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой.
Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае? Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (и), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение ().
Таким образом, мы приблизились к понятию модуля
. Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.
Так, модулем числа будет. Модуль числа также равен, потому что расстояние не может быть отрицательным
!
Модуль - это абсолютная величина
Обозначается модуль просто:
(- любое число).
Итак, найдём модуль числа и:
Основные свойства модуля
Вот мы и приблизились к первому свойству модуля: модуль не может быть выражен отрицательным числом.
То есть, если - число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.
если то.
Если - отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу:
если то
А если? Ну, конечно! Его модуль также равен:
если, то, или.
Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:
А теперь потренируйся:
Ответы:9;3;16;8;17.
Довольно легко, правда?
А если перед тобой вот такое число:
Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию. Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль :
- если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
- если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.
Ну что, попробуем? Оценим:
(Забыл, что такое корень? )
Если, то какой знак имеет? Ну конечно, ! А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:
Разобрался? Тогда попробуй сам:
Ответы:
Какими же ещё свойствами обладает модуль?
Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел. То есть:
Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.
Например:
А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:
при условии, что (так как на ноль делить нельзя).
Стоит запомнить ещё одно свойство модуля: модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:
Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа и оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:
Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:
Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.
Что если перед нами такое выражение:
Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что, а значит. Число больше нуля, а значит можно просто записать:
Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:
А чему равно такое выражение:
Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак? Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему . И что же получается? А вот что:
Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:
Ну, и почему сомнения? Действуем смело!
Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!
1. Найдите значение выражения, если.
2. У каких чисел модуль равен?
3. Найдите значение выражений:
Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:
Решение 1 :
Итак, подставим значения и в выражение Получим:
Решение 2:
Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное имеют два числа: и.
Решение 3:
а)
б)
в)
г)
Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!
Попробуем упростить выражение
Решение:
Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу. Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «-»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.
Получается, значение первого выражения под модулем.
Следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.
Уравнения с модулями, методы решений. Часть 1.
Прежде чем приступать к непосредственному изучению техник решения таких уравнений, важно понять суть модуля, его геометрическое значение. Именно в понимании определения модуля и его геометрическом смысле, заложены основные методы решения таких уравнений. Так называемый, метод интервалов при раскрытии модульных скобок, настолько эффективен, что используя его возможно решить абсолютно любое уравнение или неравенство с модулями. В этой части мы подробно изучим два стандартных метода: метод интервалов и метод замены уравнения совокупностью.
Однако, как мы убедимся, эти методы, всегда эффективные, но не всегда удобные и могут приводить к долгим и даже не очень удобным вычислениям, которые естественно потребуют большего времени на их решение. Поэтому важно знать и те методы, которые решение определенных структур уравнений значительно упрощают. Возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, графический метод, решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля. Эти методы мы рассмотрим в следующей части.
Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля.
Первым делом познакомимся с геометрическим смыслом модуля:
Модулем числа а (|а|) называют расстояние на числовой прямой от начала координат (точки 0) до точки А(а) .
Исходя из этого определения рассмотрим некоторые примеры:
|7| - это расстояние от 0 до точки 7, конечно оно равно 7. → | 7 |=7
|-5|- это расстояние от 0 до точки -5 и оно равно: 5. → |-5| = 5
Все мы понимаем расстояние не может быть отрицательным! Поэтому |х| ≥ 0 всегда!
Решим уравнение: |х |=4
Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки 0 до точки x равно 4. Ага, получается, от 0 мы можем двигаться как влево так и вправо, значит двигаясь влево на расстояние равное 4 мы окажемся в точке: -4, а двигаясь вправо окажемся в точке: 4. Действительно, |-4 |=4 и |4 |=4.
Отсюда ответ х=±4.
При внимательном изучении предыдущего уравнения можно заметить, что: расстояние вправо по числовой прямой от 0 до точки равно самой точке, а расстояние влево от 0 до числа равно противоположному числу! Понимая, что вправо от 0 положительные числа, а влево от 0 отрицательные, сформулируем определения модуля числа: модулем (абсолютной величиной) числа х (|х|) называется само число х , если х ≥0, и число –х , если х <0.
Здесь нам надо найти множество точек на числовой прямой расстояние от 0 до которых будет меньше 3, давайте представим числовую прямую, на ней точка 0, идем влево и считаем один (-1), два (-2) и три (-3), стоп. Дальше пойдут точки, которые лежат дальше 3 или расстояние до которых от 0 больше чем 3, теперь идем вправо: один, два, три, опять стоп. Теперь выделяем все наши точки и получаем промежуток х:(-3;3).
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.
То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.
Обозначается так: |5|, |х |, |а | и т.д.
Правило :
Пояснение :
|5| = 5
Читается так: модулем числа 5 является 5.
|–5| = –(–5) = 5
Читается так: модулем числа –5 является 5.
|0| = 0
Читается так: модулем нуля является ноль.
Свойства модуля:
1) Модуль числа есть неотрицательное число: |а | ≥ 0 2) Модули противоположных чисел равны: |а | = |–а | 3) Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |а | 2 = a 2 4) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел: |а · b | = |а | · |b | 6) Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел: |а : b | = |а | : |b | 7) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей: |а + b | ≤ |а | + |b | 8) Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей: |а – b | ≤ |а | + |b | 9) Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей: |а ± b | ≥ ||а | – |b || 10) Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля: |m · a | = m · |а |, m >0 11) Степень числа можно вынести за знак модуля: |а k | = |а | k , если а k существует 12) Если |а | = |b |, то a = ± b |
Геометрический смысл модуля.
Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.
Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.
На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.
Пример 1 . Решить уравнение |х – 1| = 3.
Решение .
Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х
и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х
:
х
1 = –2, х
2 = 4.
Можем и вычислить.
│х
– 1 = 3
│х
– 1 = –3
│х
= 3 + 1
│х
= –3 + 1
│х
= 4
│ х
= –2.
Ответ : х 1 = –2; х 2 = 4.
Пример 2 . Найти модуль выражения:
Решение .
Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:
3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45
10 = √100.
Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:
3√5 – 10 < 0.
Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Ответ .
Цели урока
Познакомить школьников с таким математическим понятием, как модуль числа;
Научить школьников навыкам нахождения модулей чисел;
Закрепить изученный материал с помощью выполнения различных заданий;
Задачи
Закрепить знания детей о модуле числа;
С помощью решения тестовых заданий проверить, как усвоили ученики изученный материал;
Продолжать прививать интерес к урокам математики;
Воспитывать у школьников логическое мышление, любознательность и усидчивость.
План урока
1. Общие понятия и определение модуля числа.
2. Геометрический смысл модуля.
3. Модуль числа его свойства.
4. Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа.
5. Историческая справка о термине «модуль числа».
6. Задание на закрепление знаний пройденной темы.
7. Домашнее задание.
Общие понятия о модуле числа
Модулем числа принято называть само число, если оно не имеет отрицательного значения, или это же число отрицательное, но с противоположным знаком.
То есть, модулем неотрицательного действительного числа a является само это число:
А, модулем отрицательного действительного числа х будет противоположное число:
В записи это будет выглядеть так:
Для более доступного понимания приведем пример. Так, например, модулем числа 3 будет 3, и также модулем числа -3, является 3.
Из этого следует, что под модулем числа подразумевается абсолютная величина, то есть, ее абсолютное значение, но без учета его знака. Если говорить еще более просто, то необходимо от числа отбросить знак.
Обозначаться и выглядеть модуль числа может так: |3|, |х|, |а| и т.д.
Так, например, модуль числа 3 обозначается |3|.
Также, следует помнить, что модуль числа никогда не бывает отрицательным: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 и т.д.
Геометрический смысл модуля
Модулем числа называют расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до точки. В этом определении раскрывается модуль с геометрической точки зрения.
Возьмем координатную прямую и обозначим на ней две точки. Пускай этим точкам будут соответствовать такие числа, как −4 и 2.
Теперь давайте обратим внимание на данный рисунок. Мы видим, что обозначенная на координатной прямой точка А соответствует числу -4 и если вы внимательно посмотрите, то увидите, что эта точка находится от точки отсчета 0 на расстоянии 4 единичных отрезков. Отсюда следует, что длина отрезка OA равняется четырем единицам. В этом случае, длина отрезка ОА, то есть число 4 будет модулем числа -4.
Обозначается и записывается в данном случае модуль числа таким образом: |−4| = 4.
Теперь возьмем, и на координатной прямой обозначим точку В.
Эта точка В будет соответствовать числу +2, и находится она, как мы видим, от начала отсчета на расстоянии двух единичных отрезков. Из этого следует, что длина отрезка OB равняется двум единицам. В этом случае число 2 будет модулем числа +2.
В записи это будет выглядеть так: |+2| = 2 или |2| = 2.
А теперь подведем итог. Если мы с вами возьмем какое-то неизвестное число а и обозначим его на координатной прямой точкой А, то в этом случае расстояние от точки A до начала отсчёта, то есть длинна отрезка ОА, как раз и является модулем числа «a».
В записи это будет выглядеть так: |a| = OA.
Модуль числа его свойства
А теперь давайте попробуем выделить свойства модуля, рассмотреть всевозможные случаи и записать их с помощью буквенных выражений:
Во-первых, модулем числа является число неотрицательное, а значит модуль положительного числа, равен самому числу: |a| = a, если a > 0;
Во-вторых, модули, которые состоят из противоположных чисел, равны: |а| = |–а|. То есть это свойство говорит нам о том, что противоположные числа всегда имеют равные модули, та как на координатной прямой, хотя они и имеют противоположные числа, но они находятся на одинаковом расстоянии от точки отсчета. Из этого следует, что и модули этих противоположных чисел равны.
В-третьих, модуль нуля равняется нулю в том случае, если это число является нулем: |0| = 0, если a = 0. Здесь можно с уверенностью сказать, что модулем нуля является ноль по определению, так как ему соответствует начало отсчета координатной прямой.
Четвертым свойством модуля является то, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел. Теперь подробнее рассмотрим, что это значит. Если следовать определению, то мы с вами знаем, что модуль произведения чисел a и b будет равен a b, или −(a b), если, а в ≥ 0, или же – (а в), если, а в больше 0. В записи это будет выглядеть так: |а b| = |а| |b|.
Пятым свойством является то, что модуль частного от деления чисел равен отношению модулей этих чисел: |а: b| = |а| : |b|.
И следующие свойства модуля числа:
Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа
Приступив к решению задач, которые имеют модуль числа, следует помнить, что чтобы решить такое задание, необходимо раскрыть знак модуля, используя знания свойств, которым эта задача соответствует.
Задание 1
Так, к примеру, если под знаком модуля стоит выражение, которое зависит от переменной, то раскрывать модуль следует в соответствии с определением:
Конечно же, при решении задач бывают случаи, когда модуль раскрывается однозначно. Если, например, взять
, здесь мы видим, что такое выражение под знаком модуля неотрицательно при любых значениях х и у.
Или, же для примера берем
, мы видим, что это выражение под модулем не положительно при любых значениях z.
Задание 2
Перед вами изображена координатная прямая. На этой прямой необходимо отметить числа, модуль которых будет равен 2.
Решение
В первую очередь, мы должны начертить координатную прямую. Вам уже известно, что для этого, вначале на прямой необходимо выбрать начало отсчета, направление и единичный отрезок. Далее, нам нужно от начала отсчета поставить точки, которые равны расстоянию двух единичных отрезков.
Как видим, таких точек на координатной прямой две, одна из которых соответствует числу -2, а другая числу 2.
Историческая справка о модуле числа
Термин «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера». Ввел в обращение этот термин английский математик Роджер Котес. А вот знак модуля был введен благодаря немецкому математику Карлу Вейерштрассу. При написании модуль обозначается с помощью такого символа: | |.
Вопросы на закрепление знаний материала
На сегодняшнем уроке мы с вами познакомились с таким понятием, как модуль числа, а теперь давайте проверим, как вы усвоили эту тему, ответив на поставленные вопросы:
1. Как называется число, которое противоположно положительному числу?
2. Какое название носит число, которое противоположно отрицательному числу?
3. Назовите число, которое является противоположным нулю. Существует ли такое число?
4. Назовите то число, которое не может являться модулем числа.
5. Дайте определение модулю числа.
Домашнее задание
1. Перед вами изображены числа, которые вам нужно расположить в порядке убывания модулей. Если вы правильно выполните задание, то узнаете фамилию человека, который впервые ввел в математику термин «модуль».
2. Начертите координатную прямую и найдите расстояние от М(-5) и К (8) до начала отсчета.